$\int \frac { x } { \sqrt { 1 - 9 x ^ { 2 } } } d x =$
(A) $- \frac { 1 } { 9 } \sqrt { 1 - 9 x ^ { 2 } } + C$
(B) $- \frac { 1 } { 18 } \ln \sqrt { 1 - 9 x ^ { 2 } } + C$
(C) $\frac { 1 } { 3 } \arcsin ( 3 x ) + C$
(D) $\frac { x } { 3 } \arcsin ( 3 x ) + C$

Using the substitution $u = \sqrt { x }$, $\int _ { 1 } ^ { 4 } \frac { e ^ { \sqrt { x } } } { \sqrt { x } } d x$ is equal to which of the following?
(A) $2 \int _ { 1 } ^ { 16 } e ^ { u } d u$
(B) $2 \int _ { 1 } ^ { 4 } e ^ { u } d u$
(C) $2 \int _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { u } d u$
(D) $\frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { u } d u$
(E) $\int _ { 1 } ^ { 4 } e ^ { u } d u$

Using the substitution $u = x ^ { 2 } - 3 , \int _ { - 1 } ^ { 4 } x \left( x ^ { 2 } - 3 \right) ^ { 5 } d x$ is equal to which of the following?
(A) $2 \int _ { - 2 } ^ { 13 } u ^ { 5 } d u$
(B) $\int _ { - 2 } ^ { 13 } u ^ { 5 } d u$
(C) $\frac { 1 } { 2 } \int _ { - 2 } ^ { 13 } u ^ { 5 } d u$
(D) $\int _ { - 1 } ^ { 4 } u ^ { 5 } d u$
(E) $\frac { 1 } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 4 } u ^ { 5 } d u$

We recall that $\Gamma ( y ) = e ^ { - y } y ^ { y } \int _ { - 1 } ^ { + \infty } e ^ { - y \phi ( s ) } d s$ where $\phi ( s ) = s - \ln(1+s)$, and that $\phi_-^{-1} : ]0,+\infty[ \to ]-1,0[$ and $\phi_+^{-1} : ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ are the inverse bijections of the restrictions of $\phi$.
Show that $$\Gamma ( y ) = e ^ { - y } y ^ { y } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - y q } \left( \left( \phi _ { + } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } ( q ) - \left( \phi _ { - } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } ( q ) \right) d q$$

Justify that $$\sqrt { n } I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { n } } \frac { 1 } { \left( 1 + u ^ { 2 } / n \right) ^ { n } } \mathrm {~d} u$$ where $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { n } } \mathrm {~d} t$.

The following integral
$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\operatorname{cosec} x)^{17}\, dx$$
is equal to
(A) $\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} 2\left(e^{u} + e^{-u}\right)^{16} du$
(B) $\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(e^{u} + e^{-u}\right)^{17} du$
(C) $\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(e^{u} - e^{-u}\right)^{17} du$
(D) $\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} 2\left(e^{u} - e^{-u}\right)^{16} du$

$\int \frac { d x } { \cos x + \sqrt { 3 } \sin x }$ equals
(1) $\frac { 1 } { 2 } \log \tan \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 12 } \right) + c$
(2) $\frac { 1 } { 2 } \log \tan \left( \frac { x } { 2 } - \frac { \pi } { 12 } \right) + c$
(3) $\log \tan \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 12 } \right) + c$
(4) $\log \tan \left( \frac { x } { 2 } - \frac { \pi } { 12 } \right) + c$

The integral $\int \left( 1 + x - \frac { 1 } { x } \right) e ^ { x + \frac { 1 } { x } } d x$, is equal to
(1) $( x + 1 ) e ^ { x + \frac { 1 } { x } } + c$
(2) $- x e ^ { x + \frac { 1 } { x } } + c$
(3) $( x - 1 ) e ^ { x + \frac { 1 } { x } } + c$
(4) $x e ^ { x + \frac { 1 } { x } } + c$

If $m$ is a non-zero number and $\int \frac { x ^ { 5 m - 1 } + 2 x ^ { 4 m - 1 } } { \left( x ^ { 2 m } + x ^ { m } + 1 \right) ^ { 3 } } d x = f ( x ) + c$, then $f ( x )$ is equal to
(1) $\frac { \left( x ^ { 5 m } - x ^ { 4 m } \right) } { 2 m \left( x ^ { 2 m } + x ^ { m } + 1 \right) ^ { 2 } }$
(2) $\frac { 1 } { 2 m } \frac { x ^ { 4 m } } { \left( x ^ { 2 m } + x ^ { m } + 1 \right) ^ { 2 } }$
(3) $\frac { x ^ { 5 m } } { 2 m \left( x ^ { 2 m } + x ^ { m } + 1 \right) ^ { 2 } }$
(4) $\frac { 2 m \left( x ^ { 5 m } + x ^ { 4 m } \right) } { \left( x ^ { 2 m } + x ^ { m } + 1 \right) ^ { 2 } }$

The integral $\int \frac { d x } { x ^ { 2 } \left( x ^ { 4 } + 1 \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } }$ equals to
(1) $- \left( \frac { x ^ { 4 } + 1 } { x ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + c$
(2) $\left( \frac { x ^ { 4 } + 1 } { x ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + c$
(3) $\left( x ^ { 4 } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + c$
(4) $- \left( x ^ { 4 } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + c$

The integral $\int \frac { d x } { ( 1 + \sqrt { x } ) \sqrt { x - x ^ { 2 } } }$ is equal to
(1) $- 2 \sqrt { \frac { 1 + \sqrt { x } } { 1 - \sqrt { x } } } + c$
(2) $- \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { x } } { 1 + \sqrt { x } } } + c$
(3) $- 2 \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { x } } { 1 + \sqrt { x } } } + c$
(4) $\sqrt { \frac { 1 + \sqrt { x } } { 1 - \sqrt { x } } } + c$

The integral $\int \frac { \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 2 } x } { \left( \sin ^ { 5 } x + \cos ^ { 3 } x \sin ^ { 2 } x + \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 2 } x + \cos ^ { 5 } x \right) ^ { 2 } } d x$, is equal to (where $C$ is the constant of integration).
(1) $\frac { - 1 } { 1 + \cot ^ { 3 } x } + C$
(2) $\frac { 1 } { 3 \left( 1 + \tan ^ { 3 } x \right) } + C$
(3) $\frac { - 1 } { 3 \left( 1 + \tan ^ { 3 } x \right) } + C$
(4) $\frac { 1 } { 1 + \cot ^ { 3 } x } + C$

If $f \left( \frac { x - 4 } { x + 2 } \right) = 2 x + 1 , ( x \in R - \{ 1 , - 2 \} )$, then $\int f ( x ) d x$ is equal to
(1) $12 \ln | 1 - x | - 3 x + C$
(2) $- 12 \ln | 1 - x | - 3 x + C$
(3) $12 \ln | 1 - x | + 3 x + C$
(4) $- 12 \ln | 1 - x | + 3 x + C$

If $f \left( \frac { x - 4 } { x + 2 } \right) = 2 x + 1 , ( x \in R = \{ 1 , - 2 \} )$, then $\int f ( x ) d x$ is equal to (where $C$ is a constant of integration)
(1) $12 \log _ { e } | 1 - x | - 3 x + c$
(2) $- 12 \log _ { e } | 1 - x | - 3 x + c$
(3) $- 12 \log _ { e } | 1 - x | + 3 x + c$
(4) $12 \log _ { e } | 1 - x | + 3 x + c$

Let, $n \geq 2$ be a natural number and $0 < \theta < \frac { \pi } { 2 }$. Then $\int \frac { \left( \sin ^ { n } \theta - \sin \theta \right) ^ { \frac { 1 } { n } } \cos \theta } { \sin ^ { n + 1 } \theta } d \theta$, is equal to
(1) $\frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sin ^ { n + 1 } \theta } \right) ^ { \frac { n + 1 } { n } } + c$
(2) $\frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sin ^ { n - 1 } \theta } \right) ^ { \frac { n + 1 } { n } } + c$
(3) $\frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sin ^ { n - 1 } \theta } \right) ^ { \frac { n + 1 } { n } } + c$
(4) $\frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } \left( 1 + \frac { 1 } { \sin ^ { n - 1 } \theta } \right) ^ { \frac { n + 1 } { n } } + c$

The integral $\int \frac { 3 x ^ { 13 } + 2 x ^ { 11 } } { \left( 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 4 } } d x$, is equal to
(1) $\frac { x ^ { 4 } } { 6 \left( 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 } } + C$
(2) $\frac { x ^ { 4 } } { \left( 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 } } + C$
(3) $\frac { x ^ { 12 } } { \left( 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 } } + C$
(4) $\frac { x ^ { 12 } } { 6 \left( 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 } } + C$

If $\int \frac { d x } { x ^ { 3 } \left( 1 + x ^ { 6} \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } = x f ( x ) \left( 1 + x ^ { 6} \right)^{ \frac { 1 } { 3 } } + C$, where $C$ is a constant of integration, then the function $f ( x )$ is equal to
(1) $\frac { 3 } { x ^ { 2 } }$
(2) $- \frac { 1 } { 2 x ^ { 3 } }$
(3) $- \frac { 1 } { 6 x ^ { 3 } }$
(4) $- \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } }$

$\int \sec ^ { 2 } x \cdot \cot ^ { \frac { 4 } { 3 } } x \, d x$ is equal to
(1) $3 \tan ^ { - \frac { 1 } { 3 } } x + C$
(2) $- \frac { 3 } { 4 } \tan ^ { - \frac { 4 } { 3 } } x + C$
(3) $- 3 \tan ^ { - \frac { 1 } { 3 } } x + C$
(4) $- 3 \cot ^ { - \frac { 1 } { 3 } } x + C$

The value of the integral $\int \frac { \sin \theta \cdot \sin 2 \theta \left( \sin ^ { 6 } \theta + \sin ^ { 4 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta \right) \sqrt { 2 \sin ^ { 4 } \theta + 3 \sin ^ { 2 } \theta + 6 } } { 1 - \cos 2 \theta } d \theta$ is (where $c$ is a constant of integration)
(1) $\frac { 1 } { 18 } \left[ 11 - 18 \sin ^ { 2 } \theta + 9 \sin ^ { 4 } \theta - 2 \sin ^ { 6 } \theta \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } + c$
(2) $\frac { 1 } { 18 } \left[ 9 - 2 \sin ^ { 6 } \theta - 3 \sin ^ { 4 } \theta - 6 \sin ^ { 2 } \theta \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } + c$
(3) $\frac { 1 } { 18 } \left[ 11 - 18 \cos ^ { 2 } \theta + 9 \cos ^ { 4 } \theta - 2 \cos ^ { 6 } \theta \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } + c$
(4) $\frac { 1 } { 18 } \left[ 9 - 2 \cos ^ { 6 } \theta - 3 \cos ^ { 4 } \theta - 6 \cos ^ { 2 } \theta \right] ^ { - \frac { 3 } { 2 } } + c$

The integral $\int \frac { e ^ { 3 \log _ { e } 2 x } + 5 e ^ { 2 \log _ { e } 2 x } } { e ^ { 4 \log _ { e } x } + 5 e ^ { 3 \log _ { e } x } - 7 e ^ { 2 \log _ { e } x } } d x , x > 0$, is equal to (where $c$ is a constant of integration)
(1) $\log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(2) $4 \log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(3) $\frac { 1 } { 4 } \log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(4) $\log _ { e } \sqrt { x ^ { 2 } + 5 x - 7 } + c$

The integral $\int \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { ( x - 1 ) ^ { 3 } ( x + 2 ) ^ { 5 } } } \mathrm {~d} x$ is equal to : (where $C$ is a constant of integration)
(1) $\frac { 3 } { 4 } \left( \frac { x + 2 } { x - 1 } \right) ^ { \frac { 5 } { 4 } } + C$
(2) $\frac { 4 } { 3 } \left( \frac { x - 1 } { x + 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + C$
(3) $\frac { 4 } { 3 } \left( \frac { x - 1 } { x + 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 4 } } + \mathrm { C }$
(4) $\frac { 3 } { 4 } \left( \frac { x + 2 } { x - 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \mathrm { C }$

If $\int \sqrt{\sec 2x - 1}\, dx = \alpha \log_{e}\left|\cos 2x + \beta + \sqrt{\cos 2x\left(1 + \cos \frac{1}{\beta}x\right)}\right| + \text{constant}$, then $\beta - \alpha$ is equal to $\_\_\_\_$.

The integral $\int \frac { x ^ { 8 } - x ^ { 2 } d x } { x ^ { 12 } + 3 x ^ { 6 } + 1 \tan ^ { - 1 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } }$ is equal to :
(1) $\log \tan ^ { - 1 } x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } ^ { \frac { 1 } { 3 } } + C$
(2) $\log _ { e } \tan ^ { - 1 } x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C$
(3) $\log _ { e } \tan ^ { - 1 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } + C$
(4) $\log _ { e } \tan ^ { - 1 } x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } ^ { 3 } + C$

If $\int \frac { 1 } { \sqrt [ 5 ] { ( x - 1 ) ^ { 4 } ( x + 3 ) ^ { 6 } } } \mathrm {~d} x = \mathrm { A } \left( \frac { \alpha x - 1 } { \beta x + 3 } \right) ^ { B } + \mathrm { C }$, where C is the constant of integration, then the value of $\alpha + \beta + 20 \mathrm { AB }$ is $\_\_\_\_$

If $\int \frac{2x^{2} + 5x + 9}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} \, \mathrm{d}x = x\sqrt{x^{2} + x + 1} + \alpha\sqrt{x^{2} + x + 1} + \beta \log_{e}\left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} \right| + \mathrm{C}$, where $C$ is the constant of integration, then $\alpha + 2\beta$ is equal to $\_\_\_\_$.