The value of $\sum _ { r = 0 } ^ { 6 } \left( { } ^ { 6 } C _ { r } \cdot { } ^ { 6 } C _ { 6 - r } \right)$ is equal to:
(1) 1124
(2) 1324
(3) 1024
(4) 924

$\sum _ { i , j = 0 , i \neq j } ^ { n } { } ^ { n } C _ { i } { } ^ { n } C _ { j }$ is equal to
(1) $2 ^ { 2 n } - { } ^ { 2 n } C _ { n }$
(2) $2 ^ { 2 n - 1 } - { } ^ { 2 n - 1 } C _ { n - 1 }$
(3) $2 ^ { 2 n } - \frac { 1 } { 2 } { } ^ { 2 n } C _ { n }$
(4) $2 ^ { n - 1 } + { } ^ { 2 n - 1 } C _ { n }$

If $1 + \left( 2 + { } ^ { 49 } C _ { 1 } + { } ^ { 49 } C _ { 2 } + \ldots + { } ^ { 49 } C _ { 49 } \right) \left( { } ^ { 50 } C _ { 2 } + { } ^ { 50 } C _ { 4 } + \ldots + { } ^ { 50 } C _ { 50 } \right)$ is equal to $2 ^ { n } \cdot m$, where $m$ is odd, then $n + m$ is equal to $\_\_\_\_$.

The value of $\sum _ { r } ^ { 22 } = 0 { } ^ { 22 } C _ { r } \cdot { } ^ { 23 } C _ { r }$ is
(1) ${ } ^ { 45 } C _ { 23 }$
(2) ${ } ^ { 44 } C _ { 23 }$
(3) ${ } ^ { 45 } C _ { 24 }$
(4) ${ } ^ { 44 } C _ { 22 }$

If $\left( { } ^ { 30 } C _ { 1 } \right) ^ { 2 } + 2 \left( { } ^ { 30 } C _ { 2 } \right) ^ { 2 } + 3 \left( { } ^ { 30 } C _ { 3 } \right) ^ { 2 } \ldots\ldots.. 30 \left( { } ^ { 30 } C _ { 30 } \right) ^ { 2 } = \frac { \alpha 60! } { ( 30! ) ^ { 2 } }$, then $\alpha$ is equal to
(1) 30
(2) 60
(3) 15
(4) 10

The value of $\frac{1}{1! \cdot 50!} + \frac{1}{3! \cdot 48!} + \frac{1}{5! \cdot 46!} + \ldots + \frac{1}{49! \cdot 2!} + \frac{1}{51! \cdot 1!}$ is
(1) $\frac{2^{50}}{50!}$
(2) $\frac{2^{50}}{51!}$
(3) $\frac{2^{51}}{51!}$
(4) $\frac{2^{51}}{50!}$

If $a _ { r }$ is the coefficient of $x ^ { 10 - r }$ in the Binomial expansion of $( 1 + x ) ^ { 10 }$, then $\sum _ { r = 1 } ^ { 10 } r ^ { 3 } \left( \frac { a _ { r } } { a _ { r - 1 } } \right) ^ { 2 }$ is equal to
(1) 4895
(2) 1210
(3) 5445
(4) 3025

Let $K$ be the sum of the coefficients of the odd powers of $x$ in the expansion of $( 1 + x ) ^ { 99 }$. Let a be the middle term in the expansion of $\left( 2 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 200 }$. If $\frac { { } ^ { 200 } C _ { 99 } K } { a } = \frac { 2 ^ { l } m } { n }$, where $m$ and $n$ are odd numbers, then the ordered pair $( l , \mathrm { n } )$ is equal to: (1) $( 50,51 )$ (2) $( 51,99 )$ (3) $( 50,101 )$ (4) $( 51,101 )$

If $\frac { 1 } { n + 1 } { } ^ { n } C _ { n } + \frac { 1 } { n } { } ^ { n } C _ { n - 1 } + \ldots + \frac { 1 } { 2 } { } ^ { n } C _ { 1 } + { } ^ { n } C _ { 0 } = \frac { 1023 } { 10 }$ then $n$ is equal to
(1) 9
(2) 8
(3) 7
(4) 6

The sum, of the coefficients of the first 50 terms in the binomial expansion of $( 1 - x ) ^ { 100 }$, is equal to
(1) ${ } ^ { 101 } C _ { 50 }$
(2) ${ } ^ { 99 } C _ { 49 }$
(3) $- { } ^ { 101 } C _ { 50 }$
(4) $- { } ^ { 99 } C _ { 49 }$

If $A$ denotes the sum of all the coefficients in the expansion of $\left( 1 - 3 x + 10 x ^ { 2 } \right) ^ { n }$ and $B$ denotes the sum of all the coefficients in the expansion of $\left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { n }$, then:
(1) $\mathrm { A } = \mathrm { B } ^ { 3 }$
(2) $3 \mathrm {~A} = \mathrm { B }$
(3) $\mathrm { B } = \mathrm { A } ^ { 3 }$
(4) $\mathrm { A } = 3 \mathrm {~B}$

If $\frac { { } ^ { 11 } C _ { 1 } } { 2 } + \frac { { } ^ { 11 } C _ { 2 } } { 3 } + \ldots . . + \frac { { } ^ { 11 } C _ { 9 } } { 10 } = \frac { n } { m }$ with $\operatorname { gcd } ( n , m ) = 1$, then $n + m$ is equal to

Let $S_n$ be the sum to $n$-terms of an arithmetic progression $3, 7, 11, \ldots$, if $40 < \frac{6}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} S_k < 42$, then $n$ equals $\underline{\hspace{1cm}}$.

Let $\alpha = \sum _ { r = 0 } ^ { n } \left( 4 r ^ { 2 } + 2 r + 1 \right) ^ { n } C _ { r }$ and $\beta = \left( \sum _ { r = 0 } ^ { n } \frac { { } ^ { n } C _ { r } } { r + 1 } \right) + \frac { 1 } { n + 1 }$. If $140 < \frac { 2 \alpha } { \beta } < 281$, then the value of $n$ is $\_\_\_\_$

If $\mathrm { S } ( x ) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) ^ { 2 } + 3 ( 1 + x ) ^ { 3 } + \cdots + 60 ( 1 + x ) ^ { 60 } , x \neq 0$, and $( 60 ) ^ { 2 } \mathrm {~S} ( 60 ) = \mathrm { a } ( \mathrm { b } ) ^ { \mathrm { b } } + \mathrm { b }$, where $a , b \in N$, then $( a + b )$ equal to $\_\_\_\_$

If $\sum _ { r = 0 } ^ { 5 } \frac { { } ^ { 11 } C _ { 2r } } { 2 r + 2 } = \frac { \mathrm { m } } { \mathrm { n } } , \operatorname { gcd } ( \mathrm { m } , \mathrm { n } ) = 1$, then $\mathrm { m } - \mathrm { n }$ is equal to $\_\_\_\_$

If $\sum _ { r = 1 } ^ { 30 } \frac { r ^ { 2 } \left( { } ^ { 30 } C _ { r } \right) ^ { 2 } } { { } ^ { 30 } C _ { r - 1 } } = \alpha \times 2 ^ { 29 }$, then $\alpha$ is equal to $\_\_\_\_$

If $\alpha = 1 + \sum _ { r = 1 } ^ { 6 } ( - 3 ) ^ { r - 1 } \quad { } ^ { 12 } \mathrm { C } _ { 2 r - 1 }$, then the distance of the point $( 12 , \sqrt { 3 } )$ from the line $\alpha x - \sqrt { 3 } y + 1 = 0$ is $\_\_\_\_$.

Q81. Let $a = 1 + \frac { { } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } } { 3 ! } + \frac { { } ^ { 3 } \mathrm { C } _ { 2 } } { 4 ! } + \frac { { } ^ { 4 } \mathrm { C } _ { 2 } } { 5 ! } + \ldots , \mathrm { b } = 1 + \frac { { } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 0 } + { } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } } { 1 ! } + \frac { { } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 0 } + { } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 1 } + { } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } } { 2 ! } + \frac { { } ^ { 3 } \mathrm { C } _ { 0 } + { } ^ { 3 } \mathrm { C } _ { 1 } + { } ^ { 3 } \mathrm { C } _ { 2 } + { } ^ { 3 } \mathrm { C } _ { 3 } } { 3 ! } + \ldots$ Then $\frac { 2 b } { a ^ { 2 } }$ is equal to

Q82. If $\mathrm { S } ( x ) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) ^ { 2 } + 3 ( 1 + x ) ^ { 3 } + \cdots + 60 ( 1 + x ) ^ { 60 } , x \neq 0$, and $( 60 ) ^ { 2 } \mathrm {~S} ( 60 ) = \mathrm { a } ( \mathrm { b } ) ^ { \mathrm { b } } + \mathrm { b }$, where $a , b \in N$, then $( a + b )$ equal to $\_\_\_\_$

Q83. Let $\alpha = \sum _ { r = 0 } ^ { n } \left( 4 r ^ { 2 } + 2 r + 1 \right) ^ { n } C _ { r }$ and $\beta = \left( \sum _ { r = 0 } ^ { n } \frac { { } ^ { n } C _ { r } } { r + 1 } \right) + \frac { 1 } { n + 1 }$. If $140 < \frac { 2 \alpha } { \beta } < 281$, then the value of $n$ is $\_\_\_\_$

Let $\mathrm { P } ( \mathrm { n } ) = { } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { C } _ { 0 } - \frac { { } ^ { \mathrm { n } } } { \mathrm { R } _ { 1 } } + { } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { C } _ { 2 } \frac { { } ^ { \mathrm { n } } = { } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { C } _ { 3 } } { \mathrm { y } } \ldots \frac { ( - 1 ) ^ { \mathrm { n } } { } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { C } _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { n } + 1 }$. Find $\sum _ { \mathrm { n } = 1 } ^ { 25 } \frac { 1 } { \mathrm { P } ( 2 \mathrm { n } ) }$

The value of $\frac { { } ^ { 100 } C _ { 50 } } { 51 } + \frac { { } ^ { 100 } C _ { 51 } } { 52 } + \ldots \ldots \frac { { } ^ { 100 } C _ { 100 } } { 101 }$ is $\sum _ { \gamma = 50 } ^ { 100 } \frac { { } ^ { 100 } C _ { \gamma } } { \gamma + 1 }$\ (A) $\frac { 2 ^ { 100 } } { 100 }$\ (B) $\frac { 2 ^ { 101 } } { 101 }$\ (C) $\frac { 2 ^ { 100 } } { 101 }$\ (D) $\frac { 2 ^ { 101 } } { 100 }$

The value of sum $\mathrm { S } = \stackrel { x } { \left( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 4 } { 7 } \right) } + \left( \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 4 } { 7 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 3 } \right) \left( \frac { 4 } { 7 } \right) \right) + \left( \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } + \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 4 } { 7 } \right) + \left( \frac { 1 } { 3 } \right) \left( \frac { 4 } { 7 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 4 } { 7 } \right) ^ { 3 } \right) + \ldots$, then S is equal to $( x + y ) + \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x y \right)$
(A) $\frac { 5 } { 2 }$
(B) $\frac { 3 } { 2 }$
(C) $\frac { 1 } { 2 }$
(D) 2

Find the coefficient of $x$ in the expression:
$$(1+x)^0 + (1+x)^1 + (1+x)^2 + (1+x)^3 + \cdots + (1+x)^{79} + (1+x)^{80}$$