grandes-ecoles 2016 Q3a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Probability Bounds and Inequalities for Discrete Variables
Show that for all $n \in \mathbb{N}$ and $\ell \geqslant 0$, $$\mathbb{P}\left(S_n \leqslant \ell\right) \leqslant \mathbb{E}\left(\exp\left(\ell - S_n\right)\right)$$ then that $$\mathbb{P}\left(S_n \leqslant \ell\right) \leqslant e^{\ell} \mathbb{E}(\exp(-X))^n$$ 
Show that for all $n \in \mathbb{N}$ and $\ell \geqslant 0$,
$$\mathbb{P}\left(S_n \leqslant \ell\right) \leqslant \mathbb{E}\left(\exp\left(\ell - S_n\right)\right)$$
then that
$$\mathbb{P}\left(S_n \leqslant \ell\right) \leqslant e^{\ell} \mathbb{E}(\exp(-X))^n$$
Paper Questions
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