grandes-ecoles 2016 Q10b

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Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition. We define $$\Gamma = \left\{z \in \mathbb{R}_+^* \mid \exists (x, y) \in \Lambda,\, z = y - x\right\}, \quad \text{and} \quad r(\Lambda) = \inf \Gamma.$$ Give two examples of such sets $\Lambda$, one for which $r(\Lambda) > 0$ and another for which $r(\Lambda) = 0$.

Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition. We define
$$\Gamma = \left\{z \in \mathbb{R}_+^* \mid \exists (x, y) \in \Lambda,\, z = y - x\right\}, \quad \text{and} \quad r(\Lambda) = \inf \Gamma.$$
Give two examples of such sets $\Lambda$, one for which $r(\Lambda) > 0$ and another for which $r(\Lambda) = 0$.

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