grandes-ecoles 2016 Q4b

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Expectation of a Function of a Discrete Random Variable

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by $$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$ Show that if $g = \mathbb{1}_{[0,K]}$, then $f(x) = \mathbb{E}(N(x-K, x))$.

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by
$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$
Show that if $g = \mathbb{1}_{[0,K]}$, then $f(x) = \mathbb{E}(N(x-K, x))$.

Paper Questions

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