grandes-ecoles 2016 Q4c

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Probability Bounds and Inequalities for Discrete Variables

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by $$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$ Deduce that for all $x \in \mathbb{R}$ and $n \in \mathbb{N}$, $$0 \leqslant f_n(x) \leqslant \|g\|_{\infty} \frac{e^K}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}$$

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by
$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$
Deduce that for all $x \in \mathbb{R}$ and $n \in \mathbb{N}$,
$$0 \leqslant f_n(x) \leqslant \|g\|_{\infty} \frac{e^K}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}$$

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