grandes-ecoles 2016 Q12b

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Proof Proof That a Map Has a Specific Property

Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition, with $r(\Lambda) = 0$. Let $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a uniformly continuous function. Suppose that for every sequence $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ with values in $\Lambda$ such that $x_n \rightarrow +\infty$, $f\left(x_n\right) \rightarrow 0$ when $n \rightarrow +\infty$. Show that $f(x) \rightarrow 0$ when $x \rightarrow +\infty$.

Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition, with $r(\Lambda) = 0$. Let $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a uniformly continuous function. Suppose that for every sequence $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ with values in $\Lambda$ such that $x_n \rightarrow +\infty$, $f\left(x_n\right) \rightarrow 0$ when $n \rightarrow +\infty$. Show that $f(x) \rightarrow 0$ when $x \rightarrow +\infty$.

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