grandes-ecoles 2016 Q8c

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Expectation and Variance via Combinatorial Counting

We are given an enumeration of the set $\Lambda_X = \{y_i \mid i \in \mathbb{N}\}$. Deduce that there exists a sequence of positive reals $\left(q_i\right)_{i \geqslant 0}$ such that for all $x \in \mathbb{R}$, $$f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} q_i g\left(x - y_i\right), \quad \text{and} \quad \sum_{i \in \mathbb{N},\, y_i \in [x-K, x]} q_i = \mathbb{E}(N(x-K, x)).$$

We are given an enumeration of the set $\Lambda_X = \{y_i \mid i \in \mathbb{N}\}$. Deduce that there exists a sequence of positive reals $\left(q_i\right)_{i \geqslant 0}$ such that for all $x \in \mathbb{R}$,
$$f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} q_i g\left(x - y_i\right), \quad \text{and} \quad \sum_{i \in \mathbb{N},\, y_i \in [x-K, x]} q_i = \mathbb{E}(N(x-K, x)).$$

Paper Questions

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