grandes-ecoles 2016 Q11b

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Proof Proof of Set Membership, Containment, or Structural Property

Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition, with $r(\Lambda) > 0$. Let $(a, b) \in \Lambda^2$ such that $b - a \in [r(\Lambda), 2r(\Lambda)[$ and denote $d = b - a$. Let $k, n \in \mathbb{N}$ such that $k \leqslant n-1$. Show that $$\Lambda \cap [na + kd,\, na + (k+1)d] = \{na + kd,\, na + (k+1)d\}$$

Let $\Lambda$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}_*^+$ closed under addition, with $r(\Lambda) > 0$. Let $(a, b) \in \Lambda^2$ such that $b - a \in [r(\Lambda), 2r(\Lambda)[$ and denote $d = b - a$. Let $k, n \in \mathbb{N}$ such that $k \leqslant n-1$. Show that
$$\Lambda \cap [na + kd,\, na + (k+1)d] = \{na + kd,\, na + (k+1)d\}$$

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