grandes-ecoles 2016 Q3c

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Probability Bounds and Inequalities for Discrete Variables
Show that for all $x \in \mathbb{R}, \ell \geqslant 0, k \in \mathbb{N}^*$ and $n \in \mathbb{N}^*$, $$\mathbb{P}\left(S_{n-1} < x \leqslant S_n, N(x, x+\ell) \geqslant k\right) \leqslant \mathbb{P}\left(S_{n-1} < x \leqslant S_n\right) \mathbb{P}(N(0,\ell) \geqslant k)$$ then that $$\mathbb{E}(N(x, x+\ell)) \leqslant \frac{e^{\ell}}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}$$ 
Show that for all $x \in \mathbb{R}, \ell \geqslant 0, k \in \mathbb{N}^*$ and $n \in \mathbb{N}^*$,
$$\mathbb{P}\left(S_{n-1} < x \leqslant S_n, N(x, x+\ell) \geqslant k\right) \leqslant \mathbb{P}\left(S_{n-1} < x \leqslant S_n\right) \mathbb{P}(N(0,\ell) \geqslant k)$$
then that
$$\mathbb{E}(N(x, x+\ell)) \leqslant \frac{e^{\ell}}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}$$
Paper Questions
Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q3c Q4a Q4b Q4c Q4d Q5 Q6a Q6b Q7a Q7b Q7c Q8a Q8b Q8c Q9a Q9b Q9c Q10a Q10b Q11a Q11b Q11c Q11d Q12a Q12b Q13a Q13b Q13c Q13d Q14a Q14b Q14c Q14d Q14e Q14f Q15a Q15b Q16a Q16b Q17 Q18