grandes-ecoles 2016 Q4a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Monotonicity and Convergence of Sequences Defined via Expectations

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by $$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$ Show that for all $x \in \mathbb{R}$, the sequence $\left(f_n(x)\right)_{n \geqslant 0}$ is increasing. We denote by $f(x)$ its limit in $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$.

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by
$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$
Show that for all $x \in \mathbb{R}$, the sequence $\left(f_n(x)\right)_{n \geqslant 0}$ is increasing. We denote by $f(x)$ its limit in $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$.

Paper Questions

Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q3c Q4a Q4b Q4c Q4d Q5 Q6a Q6b Q7a Q7b Q7c Q8a Q8b Q8c Q9a Q9b Q9c Q10a Q10b Q11a Q11b Q11c Q11d Q12a Q12b Q13a Q13b Q13c Q13d Q14a Q14b Q14c Q14d Q14e Q14f Q15a Q15b Q16a Q16b Q17 Q18