grandes-ecoles 2016 Q6a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Expectation and Variance of Sums of Independent Variables

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by $$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$ Show that for all $n \in \mathbb{N}$ and $x \in \mathbb{R}$, $$f_{n+1}(x) = g(x) + \sum_{i=0}^{+\infty} p_i f_n\left(x - x_i\right)$$

Let $K > 0$ and $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a positive bounded function with support in $[0, K]$. The sequence of functions $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is defined for $n \geqslant 0$ by
$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\left(g\left(x - S_k\right)\right)$$
Show that for all $n \in \mathbb{N}$ and $x \in \mathbb{R}$,
$$f_{n+1}(x) = g(x) + \sum_{i=0}^{+\infty} p_i f_n\left(x - x_i\right)$$

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